Question

設，.
（1）請寫出的表達式（不需證明）；
（2）求的極小值；
（3）設的最大值為，的最小值為，求的最小值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析： （1）依次求出,,,
由此便可猜測出的表達式.
（2）要求的極小值，先求出，
由，可得的單調區(qū)間和極值.
（3）配方法可以求出.
由（2）得：，所以.
問題轉化為求的最小值.這又有兩種方法：
法一、構造函數(shù)，通過求導來求它的最小值；法二、通過研究這個數(shù)列的單調性來求它的最小值.
試題解析：（1）根據(jù),,,
猜測出的表達式.      4分
（2）求導得：，
因為時,；當時，.
所以，當時，取得極小值，
即.                       8分
（3）將配方得，
所以.
又因為，所以，10分
問題轉化為求的最小值.
解法1（構造函數(shù)）：
令，
則，又在區(qū)間上單調遞增，
所以．
又因為，，
所以存在使得．
又有在區(qū)間上單調遞增，所以時，；
當時，，
即在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，
所以．
又由于，，，
所以當時，取得最小值．
解法2（利用數(shù)列的單調性）：
因為，
當時，，
所以，所以.
又因為，.
所以當時，取得最小值.14分