Question

已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（3）若，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）.

試題分析：(1) 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，再求切點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)斜式直線方程求切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)分析原函數(shù)的單調(diào)性，注意在解不等式時(shí)需要對(duì)參數(shù)的范圍進(jìn)行討論；(3)根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值，根據(jù)其圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定兩個(gè)函數(shù)極值的大小關(guān)系，然后解對(duì)應(yīng)的不等式.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023239145773.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，
所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023239270478.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以所求切線方程為，即．         2分
（2），
①若，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；
單調(diào)遞增區(qū)間為.                    4分
②若，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.                    5分
③若，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；
單調(diào)遞增區(qū)間為.                 7分
（3）由（2）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極小值，在處取得極大值.  8分
由，得.
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
故在處取得極大值，在處取得極小值. 10分
因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以，即. 所以.        12分