Question

（2013•靜安區(qū)一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩個焦點為F₁（-c，0）、F₂（c，0），c²是a²與b²的等差中項，其中a、b、c都是正數(shù)，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點A作直線交橢圓于另一點M，求|AM|長度的最大值；
（3）已知定點E（-1，0），直線y=kx+t與橢圓交于C、D相異兩點．證明：對任意的t＞0，都存在實數(shù)k，使得以線段CD為直徑的圓過E點．

Answer 1

分析：（1）利用c²是a²與b²的等差中項，可得c2=a2-b2=

a2+b2

2

，設出直線方程，利用直線與原點的距離為

3

2

，建立等式，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（2）設M的坐標，表示出|AM|²，即可求|AM|長度的最大值；
（3）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及以CD為直徑的圓過E點，結(jié)合向量知識，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：在橢圓中，由已知得c2=a2-b2=

a2+b2

2

（1分）
過點A（0，-b）和B（a，0）的直線方程為

x

a

+

y

-b

=1，即bx-ay-ab=0，
該直線與原點的距離為

3

2

，由點到直線的距離公式得：

ab

a2+b2

=

3

2

（3分）
解得：a²=3，b²=1，所以橢圓方程為

x2

3

+

y2

1

=1（4分）
（2）解：設M（x，y），則x²=3（1-y²），|AM|²=x²+（y+1）²=-2y²+2y+4，其中-1≤y≤1（16分）
當y=

1

2

時，|AM|²取得最大值

9

2

，所以|AM|長度的最大值為

3 2

2

（9分）
（3）證明：將y=kx+t代入橢圓方程，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
由直線與橢圓有兩個交點，所以△=（6kt）²-12（1+3k²）（t²-1）＞0，解得k2＞

t2-1

3

（11分）
設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），則x1+x2=-

6kt

1+3k2

，x1•x2=

3(t2-1)

1+3k2

，
因為以CD為直徑的圓過E點，所以

EC

•

ED

=0，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，（13分）
而y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k2x1x2+tk(x1+x2)+t2，
所以(k2+1)

3(t2-1)

1+3k2

-(tk+1)

6kt

1+3k2

+t2+1=0，解得k=

2t2-1

3t

（14分）
如果k2＞

t2-1

3

對任意的t＞0都成立，則存在k，使得以線段CD為直徑的圓過E點．(

2t2-1

3t

)2-

t2-1

3

=

(t2-1)2+t2

9t2

＞0，即k2＞

t2-1

3

．
所以，對任意的t＞0，都存在k，使得以線段CD為直徑的圓過E點．（16分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．