Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面，為的中點(diǎn)，，，，．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)，由中位線性質(zhì)可知且，由此可得，證得，根據(jù)線面平行的判定定理即可證得結(jié)論；

（2）取中點(diǎn)，由面面垂直性質(zhì)可知平面，結(jié)合平行關(guān)系知，由此可建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法求得結(jié)果.

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，

分別為中點(diǎn)， 且

又，

四邊形為平行四邊形

平面，平面 平面

（2）取中點(diǎn)，連接，

等邊三角形

平面平面，平面平面，平面

， 四邊形為平行四邊形

則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

則，，，，

，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

則，令，則，

顯然，平面的一個(gè)法向量為

二面角為銳二面角 二面角的余弦值為