Question

【題目】一青蛙從點(diǎn)開(kāi)始依次水平向右和豎直向上跳動(dòng)，其落點(diǎn)坐標(biāo)依次是，(如圖，的坐標(biāo)以已知條件為準(zhǔn))，表示青蛙從點(diǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程.

(1)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，點(diǎn)，均在該拋物線上，并且直線經(jīng)過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)，證明；

(2)若點(diǎn)要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且,試寫(xiě)出(不需證明)；

(3)若點(diǎn)要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且，求的值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2) (3)

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)青蛙依次向右向上跳動(dòng)得到，，再由拋物線的定義即可證明.

（2）根據(jù)題意可得：，，，，由于青蛙從開(kāi)始依次水平向右和豎直向上跳動(dòng)，可知隨著的增大，點(diǎn)無(wú)限接近點(diǎn)，進(jìn)而可得橫向路程之和無(wú)限接近，縱向路程之和無(wú)限接近，故問(wèn)題得解.

（3）有題意知：，，，，，，…….觀察規(guī)律可知：下標(biāo)為奇數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.相鄰橫坐標(biāo)之差是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.再利用數(shù)列的性質(zhì)即可求出.

（1）設(shè)，由于青蛙依次向右向上跳動(dòng)，

所以，，

由拋物線定義知：，即證.

（2）依題意，，，，.

.

隨著的增大，點(diǎn)無(wú)限接近點(diǎn)，

橫向路程之和無(wú)限接近，縱向路程之和無(wú)限接近.

∴.

（3）由題意知：，，，

，，，……

其中，，，，……

，，，，……

觀察規(guī)律可知：下標(biāo)為奇數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.

相鄰橫坐標(biāo)之差是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.并可用數(shù)學(xué)歸納法證明.

所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，.

所以，.