Question

【題目】如圖所示，在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設箱子的底邊長為x cm，則箱子高h＝cm.故其體積V(x)＝ (0<x<60)．V′(x)＝60x－x2＝0，據(jù)此結合函數(shù)的單調性確定箱子容積的最大值即可.

設箱子的底邊長為x cm，則箱子高h＝cm.

箱子容積V＝V(x)＝x2h＝ (0<x<60)．

求V(x)的導數(shù)，得V′(x)＝60x－x2＝0，

解得x1＝0(不合題意，舍去)，x2＝40.

當x在(0,60)內變化時，導數(shù)V′(x)的正負如下表：

x	(0,40)	40	(40,60)
V′(x)	＋	0	－

因此在x＝40處，函數(shù)V(x)取得極大值，并且這個極大值就是函數(shù)V(x)的最大值．

將x＝40代入V(x)得最大容積V＝402×＝16 000(cm3)．

所以箱子底邊長取40 cm時，容積最大，最大容積為16 000 cm3.