Question

【題目】已知函數(shù)

討論函數(shù)的單調(diào)性；

設(shè)，對(duì)任意的恒成立，求整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）整數(shù)的最大值-2

【解析】

(1)根據(jù)的取值范圍，分類討論的單調(diào)性；

(2)先考慮特殊情況：，然后分析，借助的單調(diào)性以及恒成立對(duì)應(yīng)的最值得到關(guān)于的不等式，構(gòu)建新函數(shù)分析新函數(shù)的零點(diǎn)與之間的關(guān)系，從而求解出的最大整數(shù)值.

（1）因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng) 時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，

所以在上遞增，在上遞減，

綜上可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減；

（2）當(dāng)時(shí)，則，不滿足恒成立．

若，由（1）可知，函數(shù)在上遞增，在遞減．

所以，

又因?yàn)?/span>恒成立，所以恒成立，

令，所以，所以在上遞增，

又因?yàn)?/span>，，

所以存在唯一的使，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以，所以且，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以整數(shù)的最大值為.