Question

設(shè)向量

a

=（1，cos2θ），

b

=（2，1），

c

=（4sinθ，1），

d

=（

1

2

sinθ，1）．
（1）若θ∈（0，

π

4

），求

a

•

b

-

c

•

d

的取值范圍；
（2）若θ∈[0，π），函數(shù)f（x）=|x-1|，比較f（

a

•

b

）與f（

c

•

d

）的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求，

a

•

b

-

c

•

d

=2cos2θ，結(jié)合θ∈（0，

π

4

）及余弦函數(shù)的性質(zhì)可求
（2）由題意可求f（

a

•

b

）=1+cos2θ，f（

c

•

d

）=f（1+2sin²θ）=1-cos2θ，結(jié)合θ∈[0，π），討論cos2θ的正負(fù)即可判斷

解答：解：∵

a

=（1，cos2θ），

b

=（2，1），

c

=（4sinθ，1），

d

=（

1

2

sinθ，1）
（1）

a

•

b

-

c

•

d

=2+cos2θ-2sin²θ-1=2cos2θ
∵θ∈（0，

π

4

）
∴2θ∈(0，

1

2

π)
∴0＜cos2θ＜1
∴0＜2cos2θ＜2
即0＜

a

•

b

-

c

•

d

＜2
（2）∵f（x）=|x-1|
∴f（

a

•

b

）=f（2+cos2θ）=|1+cos2θ|=1+cos2θ
f（

c

•

d

）=f（1+2sin²θ）=f（2-cos2θ）=|1-cos2θ|=1-cos2θ
∵θ∈[0，π）
當(dāng)θ∈(0，

π

4

)∪(

3π

4

，π)時(shí)，1-cos2θ＜1+cos2θ，即f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）
當(dāng)θ∈(

π

4

，

3π

4

)時(shí)，1-cos2θ＞1+cos2θ，即f（

a

•

b

）＜f（

c

•

d

）
當(dāng)θ=

π

4

或

3π

4

時(shí)，1-cos2θ=1+cos2θ，即f（

a

•

b

）=f（

c

•

d

）

點(diǎn)評：本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用及余弦函數(shù)的性質(zhì)的在應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用．