Question

本小題滿分12分）
已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁，在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，又知_w.&

  （I）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（II）求CC₁到平面A₁AB的距離；
（理）（III）求二面角A—A₁B—C的大小

Answer 1

,

解：（I）因?yàn)锳₁D⊥平面ABC，
所以平面AA₁C₁C⊥平面ABC，                      …………1分
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C，
得BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC_{1                               w.&}…………2分
所以AC₁⊥平面A₁BC；                                    …………3分
（II）因?yàn)锳C₁⊥A₁C，所以四邊形AA₁C₁C為菱形，
故AA₁=AC=2，又D為AC中點(diǎn)，知                         …………4分
取AA₁中點(diǎn)F，則AA₁⊥平面BCF，從而平面A₁AB⊥平面BCF，…………6分
過(guò)C作CH⊥BF于H，則CH⊥面A₁AB，
在                      …………7分
即CC₁到平面A₁AB的距離為                                      …………8分
（III）過(guò)H作HG⊥A₁B于G，連CG，則CG⊥A₁B，
從而為二面角A—A₁B—C的平面角，                                 …………9分
在
在中，                                 _w.&…………11分
故二面角A—A₁B—C的大小為                                      …………12分