Question

【題目】已知函數，其圖象的一個對稱中心是，將的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象.

（1）求函數的解析式；

（2）若對任意，當時，都有，求實數的最大值；

（3）若對任意實數在上與直線的交點個數不少于6個且不多于10個，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據正弦函數的對稱性，可得函數的解析式，再由函數圖象的平移變換法則，可得函數的解析式；

（2）將不等式進行轉化，得到函數在[0，t]上為增函數，結合函數的單調性進行求解即可；

（3）求出的解析式，結合交點個數轉化為周期關系進行求解即可．

（1）因為函數，其圖象的一個對稱中心是，所以有，的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象.所以

；

（2）由，構造新函數為，由題意可知：任意，當時，都有，說明函數在上是單調遞增函數，而的單調遞增區(qū)間為：

，而，

所以單調遞增區(qū)間為：，因此實數的最大值為：；

（3），其最小正周期，

而區(qū)間的長度為，

直線的交點個數不少于6個且不多于10個,則，且，

解得：.