Question

【題目】規(guī)定，其中，是正整數(shù)，且，這是組合數(shù)（、是正整數(shù)，且）的一種推廣.

（1）求的值；

（2）設，當為何值時，取得最小值？

（3）組合數(shù)的兩個性質(zhì)：①.②.是否都能推廣到（，是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，取得最小值（3）性質(zhì)①不能推廣，詳見解析；性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式為（，是正整數(shù)），證明見解析；

【解析】

（1）由題意可得，運算求得結(jié)果．

（2）根據(jù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得式子的最小值．

（3）性質(zhì)①不能推廣，通過舉反例可知．性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是，，是正整數(shù)．根據(jù)題中的規(guī)定化簡運算可以證得．

（1）由題意可得．

（2），

，故當，即時，取得最小值。

（3）性質(zhì)①不能推廣，例如當時，有定義，但無意義；

性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是，，是正整數(shù)，

事實上，當時，有．

當時

．