Question

【題目】定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=3，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則不等式exf（x）＞ex+2（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（ ）
A.{x|x＞0}
B.{x|x＜0}
C.{x|x＜﹣1或x＞1}
D.{x|x＜﹣1或0＜x＜1}

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設(shè)g（x）=exf（x）﹣ex ， （x∈R），
則g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，
∵f′（x）＞1﹣f（x），
∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
∵exf（x）＞ex+2，
∴g（x）＞2，
又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=3﹣1=2，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0，
∴不等式的解集為（0，+∞）
故選：A．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．