Question

【題目】如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，上頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)分別為，線(xiàn)段，的中點(diǎn)分別為，且是面積為4的直角三角形，過(guò)作直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，使，則直線(xiàn)的斜率為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知列式求出橢圓方程，再設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合向量數(shù)量積為0列式求得值，則直線(xiàn)方程可求．

設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為．

△是直角三角形，又，為直角，

因此，得．

結(jié)合，得，故，，離心率．

在△中，，故．

由題設(shè)條件△的面積為4，得，從而．

因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．

則，．

由題意知直線(xiàn)的傾斜角不為0，故可設(shè)直線(xiàn)的方程為：．

代入橢圓方程得．

設(shè)，，，，則．

又，

由，得，

即，解得．

所以直線(xiàn)的斜率為.

故答案為：