Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若存在正數(shù)，使恒成立，求實數(shù)的最大值；

（2）設(shè)，若沒有零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)1(2)

【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，再由導(dǎo)數(shù)研究出原函數(shù)的單調(diào)性，確定最大值，結(jié)合條件中的不等式，分離參數(shù)，得到關(guān)于的函數(shù)就，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值；

（2）把的值代入，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)區(qū)間，要使沒有零點，則的最小值大于0，然后分類參數(shù)，即可求出實數(shù)的取值范圍。

解：（1），

當時，，在上是增函數(shù)；

當時，在上是減函數(shù)，

故當時，函數(shù)取得極大值.

若對任意恒成立，

當且僅當，即成立.

設(shè)，則.

當時，是增函數(shù)；

當時，是減函數(shù)，

所以當時，取得極大值，即.

所以，即實數(shù)的最大值是.

（2），所以

，

設(shè)，則在上是增函數(shù)，

又，

所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點，即.

當時，，即；

當時，，即，所以在上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，所以.

因為沒有零點，所以，

即，

所以的取值范圍是.