Question

【題目】如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，,為線段,上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn),,的平面截該正方體的截面記為,則下列命題正確的是________.

①當(dāng)且時(shí),為等腰梯形;

②當(dāng),分別為,的中點(diǎn)時(shí)，幾何體的體積為;

③當(dāng)為中點(diǎn)且時(shí)，與的交點(diǎn)為,滿足;

④當(dāng)且時(shí), 的面積.

Answer 1

【答案】①②

【解析】

將①③④三個(gè)命題逐一畫出圖像進(jìn)行分析,即可判斷出真命題,從而得到正確的序號(hào)；②利用空間向量求點(diǎn)面距，進(jìn)而得體積.

①:作圖如下所示,過(guò) 作,交于,截面為

即

即截面為等腰梯形.故①正確.

②:以 為原點(diǎn),、、分別為、、 軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則

,,,

,,

設(shè)平面 的法向量為,則

不妨設(shè),則法向量.則點(diǎn)到平面 的距離

.故②正確.

③:延長(zhǎng) 交 的延長(zhǎng)線于一點(diǎn),連接 交 于點(diǎn)

.故③錯(cuò)誤

④:延長(zhǎng) 交 的延長(zhǎng)線于,連接交于,則截面為四邊形

根據(jù)面積比等于相似比的平方得 .

在 中,,

邊上的高為

故④錯(cuò)誤

故答案為: ①②.