Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上位于第一象限的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)．

(1)若當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且為等邊三角形，求的方程；

(2)對(duì)于(1)中求出的拋物線，若點(diǎn)，記點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，交軸于點(diǎn)，且，求證：點(diǎn)的坐標(biāo)為，并求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ； (2)證明見解析，

【解析】

（1）由拋物線焦半徑公式知，根據(jù)等邊三角形特點(diǎn)可知，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)；根據(jù)可構(gòu)造方程求得，從而得到所求方程；（2）設(shè)直線的方程為：，，，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式；利用三點(diǎn)共線，根據(jù)向量共線坐標(biāo)表示可得，代入韋達(dá)定理整理得到點(diǎn)坐標(biāo)；利用為等腰直角三角形可求得，從而構(gòu)造出方程求得，根據(jù)韋達(dá)定理的形式可確定的取值范圍；利用點(diǎn)到直線距離公式可將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)值域的求解問題；利用函數(shù)單調(diào)性求得所求的范圍即可.

（1）由題意知：，

為等邊三角形

中點(diǎn)為：

由為等邊三角形知：，即軸 ，解得：

的方程為：

（2）設(shè)直線的方程為：，，，則

由得：

設(shè)，則，

三點(diǎn)共線

即

為等腰直角三角形

即

，可得：

，又

令，，則

在上單調(diào)遞減