Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（2）設(shè)函數(shù)()，討論的單調(diào)性；

（3）若對(duì)任意，恒有關(guān)于的不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）答案見(jiàn)解析.（3）

【解析】

（1）由函數(shù)，求導(dǎo)得到， 再求得，，寫(xiě)出切線(xiàn)方程.

（2）易得，由在上恒成立，根據(jù)，分，討論求解.

（3）根據(jù)對(duì)任意，恒有關(guān)于的不等式成立，轉(zhuǎn)化為，對(duì)任意恒成立，設(shè)(，用導(dǎo)數(shù)法求其最小值即可.

（1）因?yàn)?/span>

所以，

所以.

因?yàn)?/span>，

所以，

即所求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.

（2）易知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

且有

.

因?yàn)?/span>在上恒成立，

所以①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，此時(shí)，

所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時(shí)，由，即，解得；

由，即，解得.

所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減；

在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（3）因?yàn)閷?duì)任意，恒有關(guān)于的不等式成立，

所以 ，對(duì)任意恒成立，

設(shè)().

易得，.

令，，

所以.

顯然，當(dāng)時(shí)，恒成立.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，

即在恒成立.

所以，函數(shù)在單調(diào)遞減.

所以有，

所以.

故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.