Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中，．

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；

（3）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)；（2）；（3）．

【解析】

（1）代入，由導(dǎo)數(shù)，可求得單調(diào)區(qū)間。

（2）因?yàn)?/span>，即只有一個(gè)根x=0,且是奇次根，只需=0無實(shí)數(shù)根。

（3）只需，由條件可知，從而恒成立．所以。

（1）．

當(dāng)時(shí)，．

令，解得，，．

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．

（2），顯然不是方程的根．

為使僅在處有極值，必須恒成立，即有．

解此不等式，得．這時(shí)，是唯一極值．因此滿足條件的的取值范圍是．

（3）由條件可知，從而恒成立．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者．

為使對(duì)任意的不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，

即，在上恒成立，

所以，因此滿足條件的的取值范圍是．