Question

【題目】【2018湖南（長郡中學(xué)、株洲市第二中學(xué)）、江西（九江一中）等十四校高三第一次聯(lián)考】已知函數(shù)（其中且為常數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù)， ）．

（Ⅰ）若函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時，若（其中）恒成立，求的最小值的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 或；(Ⅱ) ．

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意可知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)數(shù)為.由或，設(shè)，則，分類討論可得當(dāng)或時， 只有一個極值點(diǎn).很明顯當(dāng)時， 只有一個極值點(diǎn).當(dāng)時， 有、、三個極值點(diǎn).則當(dāng)或時，函數(shù)只有一個極值點(diǎn).

(Ⅱ)依題意得，令，則，分類討論：當(dāng)時， ，與恒成立矛盾；當(dāng)時，只需成立，則，問題轉(zhuǎn)化為求解的最小值，計算可得，即的最小值的最大值為.

試題解析：

(Ⅰ)函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)數(shù)為

.

由或，

設(shè)，∵，∴當(dāng)時， ；當(dāng)時， .

即在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，∴，

又當(dāng)時， ，當(dāng)時， 且恒成立.

所以，當(dāng)或時，方程無根，函數(shù)只有一個極值點(diǎn).

當(dāng)時，方程的根也為，此時的因式恒成立，

故函數(shù)只有一個極值點(diǎn).

當(dāng)時，方程有兩個根、且， ，∴函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減； 單調(diào)遞增； 單調(diào)遞減； 單調(diào)遞增，此時函數(shù)有、、三個極值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)或時，函數(shù)只有一個極值點(diǎn).

(Ⅱ)依題意得，令，則對，都有成立.

因為，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

注意到，∴若，有成立，這與恒成立矛盾；

當(dāng)時，因為在上為減函數(shù)，且，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，

若對，都有成立，則只需成立，

，

當(dāng)時，則的最小值，∵，∴函數(shù)在上遞增，在上遞減，∴，即的最小值的最大值為；

綜上所述， 的最小值的最大值為.