Question

已知數(shù)列中，，且（）。
（I）    求，的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（II）  （II）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小；
（III）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意，都有。

Answer 1

（I）解：當(dāng)時(shí)，，（1分）
當(dāng)時(shí)，。（2分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224749224951.png" style="vertical-align:middle;" />，所以。（3分）
當(dāng)時(shí)，由累加法得，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224749302370.png" style="vertical-align:middle;" />，所以時(shí)，有。
即。
又時(shí)，，
故。（5分）
（II）解：時(shí)，，則。
記函數(shù)，
所以。
則0。
所以。（7分）
由于，此時(shí)；
，此時(shí)；
，此時(shí)；
由于，故時(shí)，，此時(shí)。
綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。（8分）
（III）證明：對(duì)于，有。
當(dāng)時(shí)，。
所以當(dāng)時(shí)，
。
且。
故對(duì)，得證。（10分）

本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和的綜合運(yùn)用，以及數(shù)列與不等式的關(guān)系的運(yùn)用。
（1）利用已知的遞推關(guān)系得到數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，并整體變形構(gòu)造等差數(shù)列求解通項(xiàng)公式。
（2）利用第一問的結(jié)論，結(jié)合分組求和的思想和等比數(shù)列的求和得到結(jié)論。
（3））先分析通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，然后裂項(xiàng)求和，證明不等是的成立問題。