Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線與以為直徑的圓相交于，兩點(diǎn)．

（1）若，求圓的方程；

（2）求證：點(diǎn)始終在某定圓上．

（3）是否存在一定點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得為常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設(shè)，則圓的方程為，通過圓心到直線的距離，可得，從而得圓的方程；（2）設(shè)，利用消去參數(shù)，即得點(diǎn)的軌跡方程；（3）設(shè)點(diǎn)，（為常數(shù)），利用計(jì)算即可．

（1）設(shè)，則圓的方程為，

直線的斜率為，

又，

所以的斜率，

從而的方程為，即，

則圓心到直線的距離為，

由，解得，

所以圓的方程為；

（2）設(shè)，由得，

消去參數(shù)，得，

所以點(diǎn)的軌跡方程為圓：；

（3）設(shè)點(diǎn)，（為常數(shù)），

則，

整理，得，

由于，所以，

從而，解得或（舍），

所以存在定點(diǎn)，使得．