Question

（本小題滿分13分）
設函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）.
（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，求的取值范圍.

Answer 1

（I）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（II）函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點時，k的取值范圍為.

試題分析：（I）函數(shù)的定義域為，

由可得，
得到的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（II）分，，，時，
討論導函數(shù)值的正負，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，明確極值點的有無、多少.
試題解析：（I）函數(shù)的定義域為，



由可得，
所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（II）由（I）知，時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，
故在內(nèi)不存在極值點；
當時，設函數(shù)，
因為，
當時，
當時，，單調(diào)遞增，
故在內(nèi)不存在兩個極值點；
當時，
得時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的最小值為，
函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點；
當且僅當，
解得，
綜上所述，函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點時，k的取值范圍為.