Question

【題目】已知函數(shù)，，，令.

（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間及極值；

（2）若關于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)2.

【解析】

（1）由題意可得.利用導函數(shù)研究函數(shù)的性質可得的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.，無極小值.

（2）法一：令，則.由導函數(shù)研究函數(shù)的最值可得的最大值為.據此計算可得整數(shù)的最小值為2.

法二：原問題等價于恒成立，令，則，由導函數(shù)研究函數(shù)的性質可得整數(shù)的最小值為2.

（1），

所以.

令得；

由得，所以的單調遞增區(qū)間為.

由得，所以的單調遞減區(qū)間為.

所以函數(shù)，無極小值.

（2）法一：令 .

所以

.

當時，因為，所以所以在上是遞增函數(shù)，

又因為.

所以關于的不等式不能恒成立.

當時， .令得，

所以當時，；

當時，，

因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).

故函數(shù)的最大值為.

令，因為，，

又因為在上是減函數(shù)，所以當時，.

所以整數(shù)的最小值為2.

法二：由恒成立知恒成立，

令，則，

令，因為，

，則為增函數(shù).

故存在，使，即，

當時，，為增函數(shù)，

當時，，為減函數(shù).

所以，

而，所以，

所以整數(shù)的最小值為2.