Question

（2013•湛江一模）已知各項(xiàng)為正的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意正整數(shù)n，有a₂a_n=S₂+S_n
（1）求a₁的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若數(shù)列{log10

8a1

an

}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意，利用條件，可得，a₂（a₂-a₁）=a₂，根據(jù)數(shù)列{a_n}各項(xiàng)為正，可求a₁；
（2）利用條件再寫一式，兩式相減，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到結(jié)論；
（3）確定數(shù)列的通項(xiàng)，得出正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)，即可求最值．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₂a₁=S₂+S₁=2a₁+a₂①
當(dāng)n=2時(shí)，得a22=2a₁+2a₂②
②-①得，a₂（a₂-a₁）=a₂③
∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)為正，∴a₂≠0，∴a₂-a₁=1④
①④聯(lián)立可得a₁=

2

+1，a₂=

2

+2，（負(fù)值舍去）
綜上可得，a₁=

2

+1；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，（2+

2

）a_n=S₂+S_n，（2+

2

）a_n-1=S₂+S_n-1，
兩式相減可得（1+

2

）a_n=（2+

2

）a_n-1，
∴a_n=

2

a_n-1，
∴a_n=（1+

2

）•(

2

)n-1；
（3）令bn=log10

8a1

an

，則b_n=

5-n

2

lg2
令b_n＞0，則n＜5，令b_n＜0，則n＞5
∴數(shù)列{log10

8a1

an

}的前4項(xiàng)為正，第5項(xiàng)為0，從第6項(xiàng)開始為負(fù)
∴數(shù)列{log10

8a1

an

}的前4項(xiàng)或前5項(xiàng)的和取得最大值，最大值為

5(2lg2+0)

2

=5lg2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的和的最大值，考查學(xué)生的學(xué)生能力，屬于中檔題．