Question

設(shè)函數(shù)，其中，為正整數(shù)，、、均為常數(shù)，曲線在處的切線方程為.
（1）求、、的值；
（2）求函數(shù)的最大值；
（3）證明：對任意的都有.（為自然對數(shù)的底）

Answer 1

（1），，；（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）利用點(diǎn)在切線上，求出的值，由切線方程求出切線的斜率，從而得到的值，再結(jié)合題干的條件列方程組求出、、的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出極值，利用極值與最值的關(guān)系求出最大值；（3）證法1是利用分析法將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明不等式，最后等價(jià)證明，利用換元法，構(gòu)造新函數(shù)，只需證明不等式即可，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行證明；證法2是先構(gòu)造新函數(shù)，證明在區(qū)間內(nèi)成立，再令，得到，最終得到，再結(jié)合（2）中的結(jié)論得到.
試題解析：（1）由點(diǎn)在直線上，可得，即.  
，.
又切線的斜率為，，，，；
（2）由（1）知，，故.
令，解得，即在上有唯一零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減.
在上的最大值.
（3）證法1：要證對任意的都有，只需證，
由（2）知在上有最大值，，故只需證.
即，即，①
令，則，①即，②
令，則，
顯然當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
，即對任意的②恒成立，
對任意的