Question

【題目】（1）如圖（1）已知E，F，G，H為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且EHFG．求證：EHBD．

（2）如圖（2）：S是平行四邊形ABCD平面外一點，M，N分別是SA，BD上的點，且，求證：MN平面SBC．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析

【解析】

（1）先證明EH平面BCD，再利用線面平行的性質即可得證；

（2）過N作NGAD，交AB于G，證明MG平面SBC、NG平面SBC后即可證明平面SBC平面MNG，即可得證.

（1）證明：如圖（1），E，F，G，H為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，

∵EHFG，EH平面BCD，FG平面BCD，

∴EH平面BCD，

∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴BD平面ABD，

∵EH平面ABD，∴EHBD．

（2）證明：如圖（2），S是平行四邊形ABCD平面外一點，

過N作NGAD，交AB于G，連接MG，可得，

由已知條件，得，∴MGSB．

∵MG平面SBC，SB平面SBC，∴MG平面SBC．

又ADBC，∴NGBC，

∵NG平面SBC，BC平面SBC

∴NG平面SBC，NG∩MG＝G，

∴平面SBC平面MNG，

∵MN平面MNG，∴MN平面SBC．