Question

【題目】如圖所示，在直三棱柱中，，，，為線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）連接，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，利用中位線定理得出，再利用線面平行的判定定理可得出結(jié)論；

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線、、的方向?yàn)?/span>、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得二面角的正弦值.

（Ⅰ）連接，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，

由題可知四邊形為矩形，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).

又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面；

（Ⅱ）由題可知，，所以.

又因?yàn)?/span>平面，所以可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線、、的方向?yàn)?/span>、、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，，，.

所以，，，.

設(shè)平面的一個法向量為.

則，令，可得.

同理可得平面的一個法向量為.

所以，

設(shè)二面角的大小為，則.

因此，二面角的正弦值為.