Question

【題目】如圖①，已知矩形中，，，為的中點(diǎn).將沿折起，使得平面平面（如圖②），并在圖②中回答如下問(wèn)題：

(1)求證：；

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)．

【解析】

(1)根據(jù)圖①中數(shù)據(jù)可利用勾股定理逆定理得，再結(jié)合圖②中平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而證出；

(2)要求直線與平面所成角，只需求出直線的方向向量與平面的法向量，代入向量的夾角公式求出，設(shè)直線與平面所成角為，利用，即可得到結(jié)果．

(1)如圖①，矩形中，，，為中點(diǎn)，

所以，所以，

由勾股定理逆定理得，

如圖②，平面平面，

且平面平面，平面，

所以平面，又平面，

所以.

(2)取的中點(diǎn)，作，因?yàn)?/span>平面，平面，

所以，又，，所以，，

因?yàn)?/span>，所以，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

所以，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，得，令，則，.

所以，

所以，

設(shè)直線與平面所成角為，則，

所以與平面所成的角的正弦值為．