Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過點(diǎn)的橢圓的兩條切線相互垂直.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，過點(diǎn)引拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且直線過點(diǎn)？若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).

【解析】

試題

(1) 結(jié)合橢圓的離心率可求得，則橢圓方程為.

(2)由題意首先求得切線方程的參數(shù)形式，據(jù)此可得直線的方程為，則點(diǎn)的軌跡方程為，原問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).

試題解析：

（Ⅰ）由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在軸上方的切點(diǎn)為，軸下方的切點(diǎn)為，

則，的直線方程為，

因?yàn)闄E圓 的離心率為，

所以橢圓，

所以 ，則，

所以橢圓方程為.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，，

由，即，得，

∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，

即，

∵，∴.

∵點(diǎn)在切線上，∴.①

同理，.②

綜合①、②得，點(diǎn)，的坐標(biāo)都滿足方程.

∵經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線是唯一的，

∴直線的方程為，

∵點(diǎn)在直線上，∴，

∴點(diǎn)的軌跡方程為.

又∵點(diǎn)在橢圓上，又在直線上，

∴直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，

∴直線與橢圓交于兩點(diǎn).

∴滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).