Question

【題目】如圖，是⊙的直徑，是⊙的切線，交⊙于E，過E的切線與交于D.

（I）求證：；

（II）若，，求的長.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）.

【解析】

（I）連接，根據弦切角等于所夾的弧所對的圓周角，證得,由此證得,根據同角的余角相等，證得，由此證得，從而證得.（II）根據勾股定理和切割線定理列方程，解方程求得的長，進而求得的長.

（I）證明：

如圖，連接AE，

∵AB是⊙O的直徑，

AC，DE均為⊙O的切線，

∴∠AEC＝∠AEB＝90°，

∠DAE＝∠DEA＝∠B，

∴DA＝DE.

∠C＝90°－∠B＝90°－∠DEA＝∠DEC，

∴DC＝DE，

∴CD＝DA.

（II）∵CA是⊙O的切線，AB是直徑，

∴∠CAB＝90°，

由勾股定理得CA2＝CB2－AB2，

又CA2＝CE×CB，CE＝1，，

∴1·CB＝CB2－2，

即CB2－CB－2＝0，解得CB＝2，

∴CA2＝1×2＝2，∴

由（I）知D是中點，

所以DE的長為.