Question

【題目】已知函數(shù)（）（…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求單調(diào)區(qū)間；

（2）討論在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)增間為，無(wú)減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)減間為，增區(qū)間為

(2) 所以或或時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)且時(shí)， 有三個(gè)零點(diǎn)

【解析】試題分析：(1) 求出， 討論， 兩種情況，分別令得增區(qū)間， 得減區(qū)間；(2)要求在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，考慮在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分三種情況， ， ，分別求出零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

試題解析：（1）

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)增間為，無(wú)減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)減間為，增區(qū)間為

（2）由得或

先考慮在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)增且， 有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減， 有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減， 單調(diào)遞增.

而，所以或時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn)

而時(shí)，由得

所以或或時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)且時(shí)， 有三個(gè)零點(diǎn).

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對(duì)求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間.