Question

【題目】已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，且橢圓的離心率為．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且．若直線上存在點(diǎn)P，使得是以為頂角的等腰直角三角形，求直線的方程．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) y=x-1

【解析】

（Ⅰ）由橢圓C：1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)A（0，1），且橢圓的離心率為，列方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y＝x+m，P（3，yP），由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，利用根的判別式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

（Ⅰ）由題意得

解得．

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=x+m，

由得.

令，得．

，．

因?yàn)?/span>是以為頂角的等腰直角三角形，

所以平行于軸．

過(guò)做的垂線，則垂足為線段的中點(diǎn)．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．

由方程組解得，即．

而，

所以直線的方程為y=x-1．