Question

三個平面兩兩相交得三條直線,求證:這三條直線相交于一點或兩兩平行.

Answer 1

已知:平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c.

求證:a、b、c相交于同一點或a∥b∥c.

證明:∵α∩β=a,β∩γ=b,

∴a、bβ.

∴a與b的位置關系只有相交或平行兩種情況.

(1)a與b相交時,設a∩b=P,則P∈a,P∈b.

∵aα,bγ,∴P∈α,P∈γ.

∴P為α和γ的公共點.

又∵α∩γ=c,∴P∈c.

∴a、b、c相交于同一點P.

(2)a∥b時,∵α∩γ=c,aα,aγ,

∴a∥c.

∴a∥b∥c.

故a、b、c兩兩平行.

由(1)(2)知a、b、c相交于一點或兩兩平行.

小結(jié):本題的結(jié)論說明三個兩兩相交的平面,它們的三條交線如果有兩條相交于一點,那么這三條相交于一點,如果有兩條平行,那么這三條之間互相平行.