Question

已知f(x)=a-

2

2x+1

是R上的奇函數(shù)
（1）求a的值；    
（2）證明：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

是奇函數(shù)，可得方程f（0）=0代入函數(shù)解析式，由此方程求出a的值；
（2）由（1）函數(shù)f（x）=1-

2

2x+1

，即f（x）=

2x-1

2x+1

，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明其在R上是增函數(shù)即可．

解答：解：（1）函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，可得f（x）+f（-x）=0，令x=0，可得f（0）=0，
∴a-

2

20+1

=0，解得a=1．
（2）由（1）得f（x）=

2x-1

2x+1

，任取x₁＜x₂則
f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

當(dāng)x₁，x₂∈R時，2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0，2^x₁-2^x₂＜0，所以

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
有f（x₁）-f（x₂）＜0
有f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性的證明方法定義法，解題的關(guān)鍵是理解奇函數(shù)的定義及單調(diào)性的證明方法，本題的重點是單調(diào)性的證明，其中判斷符號是難點