Question

求證：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi)．

Answer 1

答案：
解析：

　　答案：已知：四條直線a、b、c、d兩兩相交，且不過(guò)同一點(diǎn)．

　　求證：a、b、c、d共面．

　　(1)若a、b、c、d四條直線中有三條共點(diǎn)，不妨設(shè)a∩b∩c＝A，a∩d＝B，b∩d＝C，c∩d＝D，且相交直線a、d所確定的平面為α，圖象如圖所示．

　　∵A∈a，aα，∴A∈α．∵C∈d，dα，∴C∈α．∴ACα，即bα．

　　同理，cα．∴a、b、c、d共面于α．

　　(2)若a、b、c、d四直線無(wú)三條直線共點(diǎn)，設(shè)a∩b＝A，a∩c＝B，b∩c＝C，且相交直線a、b確定的平面為α，圖象如圖所示．

　　∵B∈a，aα，∴B∈α．同理C∈α．∴BCα，即cα．同理dα．∴a、b、c、d共面于α．

　　綜合(1)(2)可知，a、b、c、d四線共面．

　　思路解析：四條直線兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)，又可分成兩種情況：一是有三條直線共點(diǎn)，這同教材例1；二是任何三條直線都不共點(diǎn)．因而本題需分類后各自證明．

　　證明時(shí)可以先用公理3，通過(guò)兩條相交線確定一個(gè)平面，再用公理1證明其他直線也在這個(gè)平面內(nèi)．

提示：

四條直線兩兩相交且不通過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，但沒(méi)有說(shuō)明其中的三條直線是否交于一點(diǎn)，故應(yīng)給予討論．本例為證明線共面、線共點(diǎn)、點(diǎn)共線、點(diǎn)共面提供了很好的范例，即采用先證明兩條直線共面，再證明其他直線也在這個(gè)平面內(nèi)．