Question

邊長為1的正方形ABCD沿AC對折成二面角B-AC-D，若三棱錐A-BCD的體積是

6

24

，則二面角B-AC-D的大小等于

60°，120°

．

Answer 1

分析：如圖所示，先作出∠BOD為二面角B-AC-D的平面角．在面BOD內(nèi)過B作BH⊥OD，則BH⊥面ACD．BH為B到面ACD的距離．利用體積轉(zhuǎn)化V _A-BCD=V _B-ACD，求出BH，在RT△BOH中求解．

解答：解：如圖所示：
在正方形ABCD中連接AC，BD交于點O，
則BO⊥AC，DO⊥AC，∴∠BOD為二面角B-AC-D的平面角，且AC⊥面BOD，
∵AC?面ACD，∴面ACD⊥面BOD．
在面BOD內(nèi)過B作BH⊥OD，根據(jù)平面和平面垂直的性質(zhì)定理，得BH⊥面ACD．BH為B到面ACD的距離．
∵V _A-BCD=V _B-ACD=

1

3

×

1

2

×BH=

6

24

，∴BH=

6

4

．
在RT△BOH中，sin∠BOD=

BH

BO

=

6 4

2 2

=

3

2

，∠BOD=60°，
若二面角B-AC-D為鈍二面角，則大小為180°-60°=120°．
故答案為：60°，120°．

點評：本題考查二面角的大小計量，體積的計算即轉(zhuǎn)化，考查空間想象能力，推理論證、運算求解能力．注意結(jié)果有兩種情況，且大小互補．