Question

如圖，兩個邊長為1的正方形ABCD與ABEF相交于AB，∠EBC=90°，M，N分別是BD，AE上的點，且AN=DM．
（1）求證：MN∥平面EBC；
（2）求MN長度的最小值．

Answer 1

分析：（1）首先分別以BA，BC，BE為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后確定點M、N的坐標(biāo)，進而確定

MN

的坐標(biāo)，再找到平面EBC的一個法向量

BA

，并確定它的坐標(biāo)，最后計算

MN

•

BA

為0即可．
（2）由

MN

的坐標(biāo)表示出其長度，再利用配方法即可求出它的最小值．

解答：（1）證明：依題意可分別以BA，BC，BE為x軸，y軸，z軸建立；
如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
因為正方形ABCD與ABEF的邊長為1，且AN=DM，
所以設(shè)BM=x，則NE=x，NA=

2

-x，且x∈[0，

2

]，
所以M（

2

2

x，

2

2

x，0），N（

2

2

x，0，1-

2

2

x），
所以

MN

=（0，-

2

2

x，1-

2

2

x），
因為平面EBC的一個法向量為

BA

=（1，0，0）
所以

MN

•

BA

=0，即

MN

⊥

BA

，
又MN?平面EBC，所以MN∥平面EBC．
（2）解：由（1）

MN

=（0，-

2

2

x，1-

2

2

x），得
|

MN

|=

x2- 2 x+1

=

(x- 2 2 )2+ 1 2

，
又x∈[0，

2

]，所以當(dāng)x=

2

2

時，|

MN

|_min=

2

2

．
即MN長度的最小值為

2

2

．

點評：本題主要考查向量法解決立體幾何問題．