Question

（2012•海淀區(qū)二模）某同學為研究函數(shù)f(x)=

1+x2

+

1+(1-x)2

(0≤x≤1)的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設CP=x，則AP+PF=f（x）．請你參考這些信息，推知函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸是

x=

1

2

；函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點的個數(shù)是

2

．

Answer 1

分析：從運動的觀點看，當點P從C點向點B運動的過程中，在運動到BC的中點之前，PA+PF的值漸漸變小，過了中點之后又漸漸變大，可得函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸；函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點的個數(shù)就是f（x）=

9

4

的解的個數(shù)．

解答：解：由題意可得函數(shù)f（x）=AP+PF，從運動的觀點看，當點P從C點向點B運動的過程中，在運動到BC的中點之前，PA+PF的值漸漸變小，過了中點之后又漸漸變大，
∵當點P在BC的中點上時，即A、B、P三點共線時，即P在矩形ADFE的對角線AF上時，PA+PF取得最小值；當P在點B或點C時，PA+PF取得最大值
∴函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸是x=

1

2

；
g（x）=4f（x）-9=0，即 f（x）=

9

4

．故函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點的個數(shù)就是f（x）=

9

4

的解的個數(shù)．
而由題意可得 f（x）=

9

4

的解有2個，
故答案為：x=

1

2

；2

點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，考查化歸與轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．