如圖,在棱長為a的正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中,G為△BC
1D的重心,

(1)求證:A
1、G、C三點共線;
(2)求證:A
1C⊥平面BC
1D;
(3)求點C到平面BC
1D的距離.
(1)見解析 (2)見解析 (3)

a.
解:(1)證明:

=

+

+

=

+

+

,
可以證明:

=

(

+

+

)=


,∴

∥

,即A
1、G、C三點共線.
(2)證明:設(shè)

=a,

=b,

=c,
則|a|=|b|=|c|=a,
且a·b=b·c=c·a=0,
∵

=a+b+c,

=c-a,
∴

·

=(a+b+c)·(c-a)=c
2-a
2=0,
∴

⊥

,即CA
1⊥BC
1,
同理可證:CA
1⊥BD,
因此A
1C⊥平面BC
1D.
(3)∵

=a+b+c,
∴
2=a
2+b
2+c
2=3a
2,
即|

|=

a,因此|

|=

a.
即C到平面BC
1D的距離為

a.
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
在斜三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,側(cè)面ACC
1A
1⊥面ABC,AA
1=

a,A
1C=CA=AB=a,AB⊥AC,D為AA
1中點.
(1)求證:CD⊥面ABB
1A
1;
(2)在側(cè)棱BB
1上確定一點E,使得二面角E-A
1C
1-A的大小為

.

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)A(2,1,3),B(0,1,0),則點A到點B距離為( 。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
在正三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,已知AB=1,D在棱BB
1上,且BD=1,則AD與平面AA
1C
1C所成的角的正弦值為( )

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
如圖,正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1的棱長為1,E、F分別是棱BC、DD
1上的點,如果B
1E⊥平面ABF,則CE與DF的和的值為________.

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
如圖,直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,AB=AC=1,AA
1=2,∠B
1A
1C
1=90°,D為BB
1的中點,則異面直線C
1D與A
1C所成角的余弦值為________.

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
在空間直角坐標系O-xyz中,平面OAB的一個法向量為n=(2,-2,1),已知點P(-1,3,2),則點P到平面OAB的距離d等于 .
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
經(jīng)過點

的所有直線中距離原點最遠的直線方程是什么?
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中,點E為上底面A
1C
1的中心,若

=

+x

+y

,則x、y的值分別為( )
A.x=1,y=1 | B.x=1,y= |
C.x= ,y= | D.x= ,y=1 |
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