Question

已知橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,，一個頂點(diǎn)為.
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在斜率為的直線，使直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，滿足. 若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，

試題分析：（Ⅰ）由題意可得b和c，再根據(jù)，可求得。即可求出橢圓方程。（Ⅱ）由點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，然后聯(lián)立，消掉y（或x）得到關(guān)于x的一元二次方程。因?yàn)橛袃蓚�交點(diǎn)所以判別式大于0，再根據(jù)韋達(dá)定理得出根與系數(shù)的關(guān)系。已知，如用兩點(diǎn)間距離公式，計(jì)算量非常大，故可多分析問題得到設(shè)線段中點(diǎn)為P，則有，可用直線位置關(guān)系列式計(jì)算，也可轉(zhuǎn)化為向量用數(shù)量積計(jì)算，后邊的方法計(jì)算較為簡單。
試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為.則依題意
，，所以
于是橢圓的方程為                   4分
（Ⅱ）存在這樣的直線. 依題意，直線的斜率存在
設(shè)直線的方程為，則
由得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240329405121224.png" style="vertical-align:middle;" />得      ①
設(shè)，線段中點(diǎn)為，則
于是
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032940153694.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
若，則直線過原點(diǎn)，，不合題意.
若，由得，，整理得     ②
由①②知，， 所以
又，所以.               14分