Question

【題目】已知命題函數(shù)在上單調(diào)遞增；命題函數(shù)至少有1個零點.

（1）若為假，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若為假，為真，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）因為為假，則命題為真.令，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，求得，由的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性與極大值.結(jié)合函數(shù)圖像即可求得的取值范圍；

（2）先求得當命題為真命題時的取值范圍.再由為假，為真可知一真一假.分類討論真假、假真，即可求得的取值范圍.

（1）依題意若為假，則命題為真，

令，

解得，

令，則，

故當時，，

當，，

作出函數(shù)圖象如下所示，

所以當時，取得極大值，為

由圖像可知若至少有一個零點，則，

即；

（2）當命題為真時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

顯然時，不符合題意，

由二次函數(shù)性質(zhì)知解得；

若為假，為真，則一真一假：

若真假，則實數(shù)滿足則；

若假真，則實數(shù)滿足則；

綜上所述，實數(shù)的取值范圍.