Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對(duì)任意.

Answer 1

【答案】：（Ⅰ）；

（Ⅱ）的單調(diào)增為單調(diào)減區(qū)為.

（Ⅲ）見(jiàn)解析

【解析】

試題(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知，所以先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后代入，即得.

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第一步先求，因?yàn)?/span>，所以，第二步，令，求，或的解集，即為函數(shù)的單調(diào)增，減區(qū)間；

（3）第一步先求函數(shù)，再設(shè)，第二步求，以及求函數(shù)的極值點(diǎn)，分析兩側(cè)的單調(diào)性以及最大值，第三步，分析當(dāng)時(shí)，，所以，即命題成立.

試題解析：解 (1)由f(x)＝，

得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，

由于曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行．

所以f′(1)＝0，因此k＝1.

(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，

令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h(x)＞0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)＜0.

又ex＞0，所以x∈ (0,1)時(shí)，f′(x)＞0；

x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0.

因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)

(3)因?yàn)?/span>g(x)＝xf′(x)，

所以g(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，

由(2)得，h(x)＝1－x－xln x，

求導(dǎo)得h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)．

所以當(dāng)x∈(0，e－2)時(shí)，h′(x)＞0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(e－2，＋∞)時(shí)，h′(x)＜0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減．

所以當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2.

又當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，0＜＜1，

所以當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，h(x)＜1＋e－2，即g(x)＜1＋e－2.

綜上所述結(jié)論成立