Question

【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且4Sn=an2+2an﹣3．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）已知bn=2n ， 求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)， ，解出a1=3，

又4Sn=an2+2an﹣3①

當(dāng)n≥2時(shí)4sn﹣1=an﹣12+2an﹣1﹣3②

①﹣②4an=an2﹣an﹣12+2（an﹣an﹣1），即an2﹣an﹣12﹣2（an+an﹣1）=0，

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

∵an+an﹣1＞0∴an﹣an﹣1=2（n≥2），

∴數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1

（2）解：Tn=3×21+5×22+…+（2n+1）2n③

又2Tn=3×22+5×23+（2n﹣1）2n+（2n+1）2n+1④

④﹣③Tn=﹣3×21﹣2（22+23++2n）+（2n+1）2n+1﹣6+8﹣22n﹣1+（2n+1）2n+1=（2n﹣1）2n+2

【解析】（1）由題意知 ，解得a1=3，由此能夠推出數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以an=3+2（n﹣1）=2n+1．（2）由題意知Tn=3×21+5×22+…+（2n+1）2n ， 2Tn=3×22+5×23+（2n﹣1）2n+（2n+1）2n+1 ， 二者相減可得到Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．