Question

.(本小題滿(mǎn)分14分）
如圖7，在直三棱柱中，，分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).
(1)求證:;(2)求三棱錐的體積;(3)求二面角的余弦值.

Answer 1

解:(1)證明:
證法一:在直三棱柱中,平面,平面
 
分別是的中點(diǎn)，
 
……1分
在中,
易證
在中,
同理可得
為等邊三角形, ……2分
又是的中點(diǎn), ……3分
……4分
……5分
證法二:以為原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸的正方向，的長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系. ……1分
由題設(shè)知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.
,,……2分
=0
,……3分
……4分
……5分
(2)解法一：取的中點(diǎn)，連


又
平面……6分
……7分
……8分


……9分
解法二：取的中點(diǎn)，連


又
……6分
三棱錐的體積為
……7分
……8分

=……9分
解法三：易知與是全等的邊長(zhǎng)為的等邊三角形

等腰三角形的底邊上的高為
三角形的面積為……6分
由（1）知
三棱錐的體積為
……7分
……8分


……9分
（3）解法一：由
（2）解法一、二易知平面，過(guò)F作于H,連接HE
是的中點(diǎn)，

平面HEF，平面HEF
平面，平面
即是所求二面角的平面角. ……11分
在中,

……13分
二面角的余弦值是.……14分
解法二: 以為原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸的正方向，的長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系. ……10分
由題設(shè)知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.
,,……11分
設(shè)平面的法向量為
,取,得.……12分
DA
……13分
結(jié)合圖象知二面角的余弦值是.……14分

略