Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切. 過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若，求直線的方程；

（3）求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

試題分析：（1）離心率為即，以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切，即圓心到直線的距離，解得，，所以橢圓的方程為；

（2）①當(dāng)直線的斜率為時(shí)，不符合題意；②當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，消去，寫出根與系數(shù)關(guān)系，得，，由可得，，.所以直線方程為或；

（3）由（2）結(jié)合弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式，可求得的表達(dá)式為，利用基本不等式求得最大值為.

試題解析：

（1）設(shè)橢圓方程為（），

∵離心率為，∴，即，又，∴.

∵以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切，

∴圓心到直線的距離，∴，.

∴橢圓的方程為

（2）由題意可設(shè)直線方程為

①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，不符合題意；

②當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，則直線方程為，

可設(shè)，，由可得，得.

由得，由，

則，，

可得方程為，解得，.

∴直線方程為或.

（3）由（2）可得

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，即時(shí)，面積的最大值為2.