Question

【題目】設(shè)函數(shù)， 的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行.

（1）求的值；

（2）若函數(shù)（），且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：(1) 根據(jù)切線的斜率，求出b的值即可;

（2）求出的導(dǎo)數(shù)， 在上為單調(diào)遞減函數(shù)，等價(jià)于在上恒成立，即在上恒成立，構(gòu)造求最值即可.

試題解析：(1)由題意知，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為3，所以，又，即，所以. (2)由（1）知，所以，若在上為單調(diào)遞減函數(shù)，則在上恒成立， 即，所以. 令， 則，由，得， ，得，故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則， 無最大值，在上不恒成立，故在不可能是單調(diào)減函數(shù). 若在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則在上恒成立，即，所以，由前面推理知， 的最小值為， ∴，故的取值范圍是.

點(diǎn)晴:本題主要考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立問題. 在上為單調(diào)遞減函數(shù)，等價(jià)于在上恒成立，通過變量分離可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，先構(gòu)造即可.