Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA=2．

（1）證明：平面PBE⊥平面PAB；
（2）求直線PC與平面PBE所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)BD，

∵四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，

∴BD=BC=DC=1，

∵E是CD中點(diǎn)，∴BE⊥DC，

∵AB∥DC，∴BE⊥AB，

∵PA⊥底面ABCD，BE平面ABCD，

∴BE⊥PA，

∵PA∩AB=A，∴BE⊥平面PAB，

∵BE平面PAB，∴平面PBE⊥平面PAB．

（2）解：以E為原點(diǎn)，EB為x軸，EC為y軸，以過點(diǎn)E且垂直于平面ABCD的直線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則P（ ，﹣1，2），C（0， ，0），B（ ，0，0），E（0，0，0），

=（﹣ ， ，﹣2）， =（ ，0，0）， =（ ，﹣1，2），

設(shè)平面PBE的法向量 =（x，y，z），

則 ，取z=1，得 =（0，2，1），

設(shè)直線PC與平面PBE所成的角為θ，

則sinθ= = = ．

∴直線PC與平面PBE所成的角的正弦值為 ．

【解析】（1）連結(jié)BD，推導(dǎo)出BE⊥AB，BE⊥PA，從而BE⊥平面PAB，由此能證明平面PBE⊥平面PAB．（2）以E為原點(diǎn)，EB為x軸，EC為y軸，以過點(diǎn)E且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線PC與平面PBE所成的角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識，掌握一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．