Question

如圖，焦距為的橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為和，且與n，共線(xiàn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交
點(diǎn)和，且原點(diǎn)總在以為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(1)  ;(2)

試題分析：（1）根據(jù)橢圓方程寫(xiě)出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后寫(xiě)出的坐標(biāo),利用兩向量共線(xiàn)的充要條件：,得與的關(guān)系，結(jié)合,解出與,求出橢圓的方程;（2）設(shè)直線(xiàn)，與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和,設(shè),將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，消去,得到關(guān)于的方程，由兩個(gè)不同交點(diǎn)，,并且得到與,原點(diǎn)總在以為直徑的圓的內(nèi)部，為鈍角，即,整理，代入根與系數(shù)的關(guān)系，比較得出的取值范圍.
試題解析：（1）解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，，，，所以，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034700831394.png" style="vertical-align:middle;" />與n，共線(xiàn)，所以，     2分
由，解得，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.        4分
（2）解：設(shè)，，，，把直線(xiàn)方程代入橢圓方程，
消去，得，
所以，，     8分
，即 （*）       9分
因?yàn)樵�點(diǎn)總在以為直徑的圓的內(nèi)部，
所以，即，     10分
又，
由得，     13分
依題意且滿(mǎn)足（*）得  
故實(shí)數(shù)的取值范圍是，.       14分