【題目】若無窮數列滿足:對任意兩個正整數
,
與
至少有一個成立,則稱這個數列為“和諧數列”.
(Ⅰ)求證:若數列為等差數列,則
為“和諧數列”;
(Ⅱ)求證:若數列為“和諧數列”,則數列
從第
項起為等差數列;
(Ⅲ)若是各項均為整數的“和諧數列”,滿足
,且存在
使得
,
,求p的所有可能值.
【答案】(Ⅰ)見解析 (Ⅱ) 見解析(Ⅲ) .
【解析】
(I)利用等差數列的定義,證得等差數列為“和諧數列”.
(II)利用等差數列的定義,通過證明,證得數列
從第
項起為等差數列.
(III)對依次進行驗證,當
時,結合(II)的結論和等差數列前
項和公式進行列式,求得
的可能取值.
(Ⅰ)證明:因為數列為等差數列,
所以對任意兩個正整數,有
,
所以 .
所以 數列為“和諧數列”.
(Ⅱ)證明:因為數列為“和諧數列”,
所以 當,
時,只能
成立,
不成立.
所以 ,即
.
當,
時,也只能
成立,
不成立.
所以 ,
,
,
即,
所以.
令,則數列
滿足
.
所以,數列從第3項起為等差數列.
(Ⅲ)解:①若,則
,與
矛盾,不合題意.
②若,則
,
,但
,不合題意
③若,則
,
,由
,得
,
此時數列為:
,符合題意.
④若,設
,
則.
所以,
即 .
因為,所以
.
所以不合題意.
所以.
因為p為整數,所以為整數,所以
.
綜上所述,p的所有可能值為.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】定義:圓心到直線的距離與圓的半徑之比為直線關于圓的距離比.
(1)設圓求過
(2,0)的直線關于圓
的距離比
的直線方程;
(2)若圓與
軸相切于點
(0,3)且直線
=
關于圓
的距離比
,求此圓的
的方程;
(3)是否存在點,使過
的任意兩條互相垂直的直線分別關于相應兩圓
的距離比始終相等?若存在,求出相應的點
點坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,
平面
,
,
.
,
,
,
是
的中點.
(Ⅰ)證明:⊥平面
;
(Ⅱ)若二面角的余弦值是
,求
的值;
(Ⅲ)若,在線段
上是否存在一點
,使得
⊥
. 若存在,確定
點的位置;若不存在,說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】“水是生命之源”,但是據科學界統計可用淡水資源僅占地球儲水總量的,全世界近
人口受到水荒的威脅.某市為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準
(噸):一位居民的月用水量不超過
的部分按平價收費,超出
的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數據按照
分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)設該市有60萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于2.5噸的人數,并說明理由;
(3)若該市政府希望使的居民每月的用水不按議價收費,估計
的值,并說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】(1)經統計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口排隊等候的人數及相應概率如下:
排隊人數 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5人及5人以上 |
概率 |
求至少3人排隊等候的概率是多少?
(2)在區(qū)間上隨機取兩個數m,n,求關于x的一元二次方程
有實根的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】下列說法中正確的是( )
A.先把高二年級的名學生編號:
到
,再從編號為
到
的學生中隨機抽取
名學生,其編號為
,然后抽取編號為
的學生,這種抽樣方法是分層抽樣法
B.線性回歸直線不一定過樣本中心
C.若兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數的值越接近于
D.若一組數據,
,
,
的平均數是
,則該組數據的方差也是
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