【題目】若無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足:對(duì)任意兩個(gè)正整數(shù)
,
與
至少有一個(gè)成立,則稱(chēng)這個(gè)數(shù)列為“和諧數(shù)列”.
(Ⅰ)求證:若數(shù)列為等差數(shù)列,則
為“和諧數(shù)列”;
(Ⅱ)求證:若數(shù)列為“和諧數(shù)列”,則數(shù)列
從第
項(xiàng)起為等差數(shù)列;
(Ⅲ)若是各項(xiàng)均為整數(shù)的“和諧數(shù)列”,滿(mǎn)足
,且存在
使得
,
,求p的所有可能值.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析 (Ⅱ) 見(jiàn)解析(Ⅲ) .
【解析】
(I)利用等差數(shù)列的定義,證得等差數(shù)列為“和諧數(shù)列”.
(II)利用等差數(shù)列的定義,通過(guò)證明,證得數(shù)列
從第
項(xiàng)起為等差數(shù)列.
(III)對(duì)依次進(jìn)行驗(yàn)證,當(dāng)
時(shí),結(jié)合(II)的結(jié)論和等差數(shù)列前
項(xiàng)和公式進(jìn)行列式,求得
的可能取值.
(Ⅰ)證明:因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列,
所以對(duì)任意兩個(gè)正整數(shù),有
,
所以 .
所以 數(shù)列為“和諧數(shù)列”.
(Ⅱ)證明:因?yàn)閿?shù)列為“和諧數(shù)列”,
所以 當(dāng),
時(shí),只能
成立,
不成立.
所以 ,即
.
當(dāng),
時(shí),也只能
成立,
不成立.
所以 ,
,
,
即,
所以.
令,則數(shù)列
滿(mǎn)足
.
所以,數(shù)列從第3項(xiàng)起為等差數(shù)列.
(Ⅲ)解:①若,則
,與
矛盾,不合題意.
②若,則
,
,但
,不合題意
③若,則
,
,由
,得
,
此時(shí)數(shù)列為:
,符合題意.
④若,設(shè)
,
則.
所以,
即 .
因?yàn)?/span>,所以
.
所以不合題意.
所以.
因?yàn)?/span>p為整數(shù),所以為整數(shù),所以
.
綜上所述,p的所有可能值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若為曲線(xiàn)
的一條切線(xiàn),求a的值;
(2)已知,若存在唯一的整數(shù)
,使得
,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
.
(1)若,判斷函數(shù)
的單調(diào)性;
(2)討論函數(shù)的極值,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:圓心到直線(xiàn)的距離與圓的半徑之比為直線(xiàn)關(guān)于圓的距離比.
(1)設(shè)圓求過(guò)
(2,0)的直線(xiàn)關(guān)于圓
的距離比
的直線(xiàn)方程;
(2)若圓與
軸相切于點(diǎn)
(0,3)且直線(xiàn)
=
關(guān)于圓
的距離比
,求此圓的
的方程;
(3)是否存在點(diǎn),使過(guò)
的任意兩條互相垂直的直線(xiàn)分別關(guān)于相應(yīng)兩圓
的距離比始終相等?若存在,求出相應(yīng)的點(diǎn)
點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,
平面
,
,
.
,
,
,
是
的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:⊥平面
;
(Ⅱ)若二面角的余弦值是
,求
的值;
(Ⅲ)若,在線(xiàn)段
上是否存在一點(diǎn)
,使得
⊥
. 若存在,確定
點(diǎn)的位置;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“水是生命之源”,但是據(jù)科學(xué)界統(tǒng)計(jì)可用淡水資源僅占地球儲(chǔ)水總量的,全世界近
人口受到水荒的威脅.某市為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)
(噸):一位居民的月用水量不超過(guò)
的部分按平價(jià)收費(fèi),超出
的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過(guò)抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照
分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)設(shè)該市有60萬(wàn)居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于2.5噸的人數(shù),并說(shuō)明理由;
(3)若該市政府希望使的居民每月的用水不按議價(jià)收費(fèi),估計(jì)
的值,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)經(jīng)統(tǒng)計(jì),在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口排隊(duì)等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下:
排隊(duì)人數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5人及5人以上 |
概率 |
求至少3人排隊(duì)等候的概率是多少?
(2)在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)m,n,求關(guān)于x的一元二次方程
有實(shí)根的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法中正確的是( )
A.先把高二年級(jí)的名學(xué)生編號(hào):
到
,再?gòu)木幪?hào)為
到
的學(xué)生中隨機(jī)抽取
名學(xué)生,其編號(hào)為
,然后抽取編號(hào)為
的學(xué)生,這種抽樣方法是分層抽樣法
B.線(xiàn)性回歸直線(xiàn)不一定過(guò)樣本中心
C.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的值越接近于
D.若一組數(shù)據(jù),
,
,
的平均數(shù)是
,則該組數(shù)據(jù)的方差也是
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