Question

【題目】曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）的距離和它到定直線x=3的距離之比是1： ．
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F（1，0）的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABO面積為 時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)M（x，y）

由題意可得， ，

整理得 ，

則曲線C的方程為 ；

（2）解：當(dāng)l斜率不存在時(shí)，l方程為x=1，

此時(shí)l與C的交點(diǎn)分別為 ， ，

即有 ，

則 ，

由直線l斜率存在，設(shè)l方程為y=k（x﹣1），

由 ，

得 ， ，

∴ ．

設(shè)O到l的距離為d，則 ，

∴ ，

解得k=±1．

綜上所述，當(dāng)△ABO面積為 時(shí)，l的方程為y=x﹣1或y=﹣x+1．

【解析】（1）設(shè)M（x，y），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求方程；（2）當(dāng)l斜率不存在時(shí)，l方程為x=1，求得A，B的坐標(biāo)，以及△ABO的面積；由直線l斜率存在，設(shè)l方程為y=k（x﹣1），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，解方程可得斜率k，進(jìn)而得到所求直線的方程．